線性代數

📝 歷屆考古題

• 112年 地特三等 第2題
  若 $\cdot$ 為內積運算，$\times$ 為外積運算，請計算…
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• 112年 地特三等 第4題
  下列那一個向量不在矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$ 之列空間（row space）？
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• 112年 地特三等 第5題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} -4 & -6 \ 3 & 5 \end{bmatrix}$ 經由對角化得 $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$…
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• 112年 地特三等 第6題
  假設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & -2 & 1 \ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix}$，計算行列式值 $\det(3A^T) + \det(A^{-1}) = \frac{c}{3}$…
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• 112年 地特三等 第7題
  假設 $A$ 為 $n \times n$ 矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？
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• 112年 地特三等 第8題
  下列子集合何者為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間（subspace）？
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• 111年 地特三等 第1題
  我們準備對（1, -1, 3）以及（2, 0, -4）這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成（1, -1, 3） $\times$ （2, 0, -4） =（a, b, c），…
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• 111年 地特三等 第2題
  考慮一線性方程組 $Ax = b$，$A$ 為 $m \times n$ 矩陣，$m > n$。下列敘述何者錯誤？
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• 111年 地特三等 第3題
  如果用 $\phi$ 來代表（1, 3, 2）與（0, -1, 4）這兩個向量之夾角，那麼 $\sin^2 \phi = $ ？請選出最接近的數值：
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• 111年 地特三等 第4題
  假設我們已知（1, 2, 3）、（1, 0, -1）以及（3, 1, $\alpha$）這三個向量無法構成 $\Re^3 \{(x, y, z) | x, y, z \in \Re\}$ 的基底（ba…
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• 111年 地特三等 第5題
  考慮如下所示之矩陣： $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$ 。下列敘述何者正確？
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• 111年 地特三等 第6題
  如下所示之選項中，何者為矩陣 $\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ 的特徵向量（characteri…
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• 111年 地特三等 第7題
  考慮一馬可夫過程（Markov process）： $x(k+1) = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} x(k)$ ，其狀態向量…
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• 110年 地特三等 第1題
  若多項式 $p_1(x) = x^2 - 2x + 1$，$p_2(x) = 2x^2 + ax - 1$，$p_3(x) = x^2 + x + b$ 所拓展（span）的子空間維度為 3，則（a,…
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• 110年 地特三等 第2題
  某向量經過線性轉換（linear transformation） $T = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}$ 之後…
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• 110年 地特三等 第3題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，則 $\det(A^5)$ 為何？
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• 110年 地特三等 第4題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？
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• 110年 地特三等 第6題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ a & 0 & 2 \ 1 & 3 & b \end{bmatrix}$，其特徵多項式（characteristic polyn…
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• 110年 地特三等 第11題
  矩陣 $X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 3 \ 2 & 5 & 4 & 8 \ -1 & -3 & -2 & -5 \ 0 & 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}$…
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• 110年 地特三等 第12題
  下列何者構成空間 $\mathbb{R}^3$ 的基底？
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• 110年 地特三等 第13題
  已知一個 $3 \times 3$ 矩陣 $B$ 的特徵值（eigenvalues）為 0, 1, 2，請問這些已知資訊尚不足以決定下列那個值？
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• 110年 地特三等 第14題
  有一投影矩陣 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$，其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，其秩為 $n$。請問下列何者錯誤？
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• 109年 地特三等 第1題
  對稱矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$，其對角化矩陣（diagonal…
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• 109年 地特三等 第2題
  矩陣 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，令 $\det \mathbf{A} = 6$ 和 $\det \mathbf{B} = 2$，求 $\det \mathbf{A}\mathbf{B}^{-1} = ?$…
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• 109年 地特三等 第3題
  設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$，…
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• 109年 地特三等 第5題
  矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$，求 $e^{\mathbf{A}t} = ?$
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• 109年 地特三等 第6題
  下列矩陣何者的秩（rank）等於 2。
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• 108年 地特三等 第1題
  令 $\mathbf{u} = \mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}$；$\mathbf{v} = -3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+6\mathbf{k}$…
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• 108年 地特三等 第2題
  $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & -2 & 3 \end{bmatrix}$，試問 $\forall \mathbf{x} \in R^3$…
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• 108年 地特三等 第3題
  令矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 10 & -10 \ 10 & 5 & -20 \ 5 & -5 & -10 \end{bmatrix}$，…
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• 108年 地特三等 第4題
  已知 $\mathbf{A}$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $\text{rank}(\mathbf{A})=r$，下列敘述何者正確？
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• 108年 地特三等 第5題
  求矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \ 3 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ 有幾個線性獨立之特徵向量？
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• 108年 地特三等 第6題
  $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$，令 $e^{\mathbf{A}} = [a_{ij}]_{2 \times 2}$…
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• 107年 地特三等 第1題
  下列那一組值會使矩陣 $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \ a & 0 & 3 \ b & c & 0 \end{bmatrix}$ 為“歪斜對稱”（skew-symmet…
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• 107年 地特三等 第3題
  求矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \ 2 & -5 & 1 \ 1 & -4 & -7 \end{bmatrix}$ 的秩（rank）為何？
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• 107年 地特三等 第5題
  令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \ -4 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$，利用 QR 分解可得 $A = QR$，其中 $Q$ 為一 $3 \times 2$…
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• 107年 地特三等 第6題
  已知線性轉換 $T : \Re^4 \to \Re^4$，且定義為…
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• 107年 地特三等 第8題
  下列何組向量可以是 $\mathbb{R}^3$ 的一個基底？
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• 107年 地特三等 第9題
  假設矩陣 $A$ 為 $3 \times 3$ 的方陣，且其特徵值（eigenvalues） $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1$，求 $A^{50} = ?$…
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• 107年 地特三等 第12題
  下列何者是互為線性相依（linear dependent）？
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• 106年 地特三等 第1題
  若 $A$ 為一個 $6 \times 6$ 反對稱矩陣 ($A^T = -A$)，下列何者錯誤？
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• 106年 地特三等 第2題
  求 $\|u \times v\|^2 + (u \cdot v)^2$ 與下列何者相等？
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• 106年 地特三等 第3題
  試決定 $a$ 值，可能造成下列的聯立方程式會有無限多組解：…
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• 106年 地特三等 第4題
  令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \ 2 & 0 & -3 \ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$，其反矩陣（inverse matrix） $A^{-1}$…
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• 106年 地特三等 第5題
  已知 $A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \ -10 & 6 \end{bmatrix}$，$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求 $f(A)$ 為何？
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• 106年 地特三等 第6題
  給定一 $3 \times 3$ 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，則下列何者錯誤？
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• 105年 地特三等 第1題
  下列向量集合何者為線性相依（linearly dependent）？（選項中 $T$ 代表轉置（Transpose））
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• 105年 地特三等 第2題
  試問向量 $\begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{bmatrix}$ 於一子空間…
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• 105年 地特三等 第3題
  假設 $A \in R^{3 \times 3}$，$B \in R^{3 \times 3}$，且 $I$ 為三階單位矩陣，已知 $|A| = -4$，$|B| = 6$，請問…
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• 105年 地特三等 第4題
  假設矩陣…
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• 105年 地特三等 第5題
  $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 10 & 13 \ 2 & 6 & 12 & 14 \ 5 & 9 & 11 & 15 \ 4 & 12 & 24 & 28 \end{bmatrix}$…
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• 105年 地特三等 第6題
  $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 - 2x_1x_2 + 2ax_1x_3$，當 $a$ 為下列何值時，可使得 $(x_1, x_2, x_3) \neq (0,0,0)$…
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